Welcome

Delete this widget from your Dashboard and add your own words. This is just an example!

Matrix Operation

Minggu, 31 Juli 2011


Matrix Operations
matriks (matriks jamak, atau kurang umum matrixes) merupakan  array persegi panjang angka, simbol, atau ekspresi. Item individual dalam sebuah matriks disebut elemen atau entry. Contoh matriks dengan enam elemen sebagai berikut :
 
Matriks dengan ukuran yang sama dapat ditambahkan atau dikurangi elemen dengan elemen. Aturan untuk perkalian matriks lebih rumit, dan dua matriks dapat dikalikan hanya ketika jumlah kolom dalam pertama sama dengan jumlah baris dalam kedua. Sebuah aplikasi utama dari matriks adalah untuk mewakili transformasi linear , yaitu generalisasi dari fungsi linear seperti f (x) = 4 x. Misalnya, rotasi vektor dalam ruang tiga dimensi adalah sebuah transformasi linear. Jika R adalah matriks rotasi dan v adalah vektor kolom (matriks dengan hanya satu kolom) yang menggambarkan posisi dari sebuah titik dalam ruang, Rv produk adalah vektor kolom yang menggambarkan posisi titik bahwa setelah rotasi. Produk dari dua matriks adalah matriks yang merepresentasikan komposisi dari dua transformasi linear. Aplikasi lain matriks dalam solusi dari sistem persamaan linear . Jika matriks adalah matriks kuadrat , maka determinan memberikan informasi penting tentang matriks. Sebagai contoh, matriks memiliki invers jika dan hanya jika determinannya tidak nol. Nilai Eigen dan vektor eigen memberikan wawasan tentang geometri transformasi linear.
 
Sebuah notasi alternatif menggunakan besar kurung bukan kurung kotak
 
Garis horisontal dan vertikal dalam matriks disebut baris dan kolom, masing-masing. Angka-angka dalam matriks disebut entri atau elemen-elemennya. Untuk menentukan ukuran matriks, matriks dengan m baris dan n kolom disebut m-oleh-n matriks atau m × n matriks, sedangkan m dan n disebut dimensi. Di atas adalah matriks 4-by-3.
Sebuah matriks dengan satu baris (a 1 × n matriks) disebut vektor baris , dan matriks dengan satu kolom (sebuah matriks m × 1) disebut vektor kolom . Setiap baris atau kolom dari matriks menentukan baris atau vektor kolom, diperoleh dengan menghapus semua baris atau kolom lainnya masing-masing dari matriks. Sebagai contoh, vektor baris untuk baris ketiga dari matriks di atas adalah :



Ketika sebuah baris atau kolom dari suatu matriks ditafsirkan sebagai nilai, ini mengacu ke baris yang sesuai atau vektor kolom. Misalnya seseorang dapat mengatakan bahwa dua baris yang berbeda dari suatu matriks adalah sama, berarti mereka menentukan vektor baris yang sama. Dalam beberapa kasus, nilai dari sebuah baris atau kolom harus ditafsirkan hanya sebagai urutan nilai (elemen dari R n jika entri adalah bilangan real) daripada sebagai sebuah matriks, misalnya ketika mengatakan bahwa baris-baris matriks sama dengan yang sesuai kolom yang transpos matriks.
Sebagian besar dari artikel ini berfokus pada matriks real dan kompleks, yaitu matriks yang elemen-elemennya adalah nyata atau kompleks, masing-masing. Jenis yang lebih umum dari entri dibahas di bawah ini .


v  Notasi

Spesifik dari notasi matriks bervariasi, dengan beberapa tren yang berlaku. Matriks biasanya dinotasikan menggunakan huruf huruf, sedangkan yang sesuai huruf kecil huruf, dengan dua indeks subscript, mewakili entri. Di samping menggunakan huruf besar untuk melambangkan matriks, penulis banyak menggunakan khusus gaya ketik , biasanya tebal tegak (non-miring), untuk lebih membedakan matriks dari objek matematika lainnya. Sebuah notasi alternatif melibatkan penggunaan ganda menggarisbawahi dengan nama variabel, dengan atau tanpa gaya tebal, (misalnya, ).
Entri di baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks biasanya disebut sebagai entri ke i, j, (i, j), atau (i, j) dari matriks. Sebagai contoh, entri (2,3) dari matriks A di atas adalah 7. The (i, j) ke entri matriks A yang paling sering ditulis sebagai i, j. Alternatif notasi untuk entri adalah A [i, j] atau A i, j.
Kadang-kadang matriks disebut dengan memberikan rumus untuk (i, j) entry th, sering dengan kurung ganda di sekitar rumus untuk masuk, misalnya, jika (i, j) ke entri dari A diberikan oleh ij , A akan dinotasikan ((a ij)).
Tanda bintang umumnya digunakan untuk merujuk pada seluruh baris atau kolom dalam matriks. Misalnya, i, * mengacu pada baris ke-i dari A, dan a *, j  menunjukan kolom ke-j dari A. Himpunan semua m-n-oleh matriks dilambangkan (M, n).
Sebuah singkatan yang umum adalah
A = [i, j] i = 1 ,..., m; j = 1 ,..., n atau lebih singkat A = [i, j] m × n
untuk mendefinisikan m × ​​n matriks A. Biasanya entri i, j didefinisikan secara terpisah untuk semua bilangan bulat 1 ≤ im dan 1 ≤ jn. Namun mereka kadang-kadang dapat diberikan oleh satu rumus, misalnya matriks 3-by-4 

 
alternatif dapat ditentukan oleh A = [i - j] i = 1,2,3; j = 1 ,..., 4, atau hanya A = ((i - j)), di mana ukuran matriks dipahami .
Beberapa bahasa pemrograman mulai penomoran baris dan kolom dari nol, dalam hal entri dari m-oleh-n matriks diindeks oleh 0 ≤ im - 1 dan 0 ≤ jn -. 1 [2] Artikel ini mengikuti konvensi lebih umum dalam menulis matematika mana pencacahan dimulai dari 1.

 
Perkalian matriks
        Mari kita mulai dengan mendefinisikan produk dari dua matriksdan dari melihat apa yang digunakan kita dapat membuat proses.di sini adalah contoh sederhana untuk menunjukkan apa yang dimaksud dengan produk AB = C dua matriks A dan B.


Amati bahwa dalam produk matriks C, elemen-elemen pada baris pertama dan kolom pertama diperoleh dengan mengalikan setiap elemen baris pertama di A kali elemen yang sesuai di kolom pertama dari B dan menambahkan hasil. Hal ini disebut sebagai "baris kali kolom" perkalian, ketika kita menghitung ae+ bg, kita mengatakan bahwa kita memiliki "dikalikan baris pertama dari A kali kolom pertama dari B." selanjutnyamemeriksa elemen af + bh di kolom baris pertama, kedua abdC, itu adalah "baris pertama dari A kali kolom kedua dari B." Demikian pula, ce + dg di baris kedua dan kolom pertama dari C adalah "baris kedua dari A kali kolom pertama dari B,: dan cf+ dh di baris kedua dan kolom kedua dari C adalah "baris kedua Sebuah kali kolom kedua dari B." jadi, semua elemendari C dapat diperoleh dengan menggunakan yang rullsederhana berikut:
Elemen dalam baris i dan kolom j dari matriks produk AB adalahsama dengan baris i kolom j dari A kali dari B.
ini adalah cara lain yang berguna untuk mengatakan ini: pikirkanelemen dalam baris (atau kolom) dari matix sebagai komponendari sebuah vektor. Kemudian baris kali kolom untuk matriksperkalian AB produk sesuai dengan menemukan produk dotvektor baris dari A dan vektor kolom AB.
tidak perlu untuk matriks menjadi persegi agar kita untuk melipatgandakan mereka.
contoh:
1. Cari produk A dan B jika:








Mengikuti aturan yang telah kami utarakan, kita mendapatkan:
Perhatikan bahwa kolom ketiga dalam B menyebabkan kita tidak mengalami kesulitan dalam mengikuti aturan kami, kami hanyadikalikan setiap baris dari A kali B kolom ketiga untuk mendapatkan unsur-unsur pada kolom ketiga dari AB. tapimisalkan kita mencoba untuk menemukan BA produk. B berturut-turut mengandung tiga unsur, sedangkan di kolom A berisi hanya dua: dengan demikian kita tidak bisa aply "baris kali kolom" kamimetode. Setiap kali ini terjadi, kita mengatakan bahwa B tidakSelaras sehubungan dengan A, dan BA produk tidakdidefinisikan (yaitu, tidak ada artinya dan kita tidak menggunakannya)