Convergen Series

        TESTING SERIES FOR CONVERGENCE; THE PRELIMINARY TEST

Kita akan mempertimbangkan disini beberapa tes sederhana konvergen. Tes ini akan menggambarkan beberapa ide yang dilibatkan dalam uji konvergensi deret. Ada tes yang sulit yang mana kalian dapat menemukannya di buku-buku lain.

Pertama, kita membahas tentang the preliminary test atau uji pendahuluan. Pada banyak kasus, kalian seharusnya menggunakan uji pendahuluan ini pada deret sebelum menggunakan tes yang lain.

 

Catatan :

 

 

Bentuk tersebut cenderung menuju 1, sehingga dari preliminary test (ujipendahuluan), deret tersebut diatas divergen dan tidak perlu uji lebih lanjut (further test).

TEST FOR CONVERGENCE OF SERIES OF POSITIVE TERMS; ABSOLUTE CONVERGENCE

Sekarang kita akan mempertimbangkan kegunaan empat tes pada deret yang semua bentuknya positif. Jika beberapa bentuk deret tersebut negative, kita mungkin masih ingin mempertimbangkan hubungan deret yang kita dapatkan dengan membuat semua bentuknya positif. Jika deret baru tersebut konvergen, kita sebut dengan absolutely convergent (konvergen mutlak).

 

A.    A. The Comparison Test (Uji perbandingan)

     Terdapat dua bagian pada uji perbandingan ini :

 

                                    Deret tersebut diatas konvergen

 B. Integral Test (Uji Integral)
      Kita dapat menggunakan uji integral saat bentuk sebuah deret positif dan tidak terikat,  

(6.1)

        Menggunakan uji integral,

:: Deret tersebut diatas Divergen 

 C. Ratio Test (Uji Rasio) 

Example 1 : Test for convergence the series

 

              :: Deret tersebut menggunakan uji perbandingan karena = 1

D. A Special Comparison Test

Uji ini terdapat dua bagian ,yaitu :

a)      a convergence test

b)      a divergence test

 

Example 1 : Test for Convergence

Consider as a comparison series just

Kita mengenal (integral test) deret konvergen. Karenanya, kita menggunakan uji (a) untuk mencoba menunjukkan bahwa deret yang diberikan konvergen. Kita dapatkan :

 

This is a finite limit, sehingga deret tersebut konvergen.

Example 2 : Test for Divergence

                                    Karena lebih besar dari nol, sehingga deret tersebut divergen.

 ALTERNATING SERIES (DERET TIDAK TETAP)

 Sejauh ini kita telah membicarakan tentang deret dalam bentuk positif (termasuk deret berharga mutlak). Alternating series (deret tidak tetap) merupakan deret yang betuknya tidak tetap nilai plus dan minusnya, sebagai contoh :

(7.1)

 

Adalah deret tak tetap. Berikut ini contoh deret yang bernilai mutlak :

Adalah deret harmonis (6.1) yang divergen. Kita sebut deret (7.1) bukan konvergen mutlak. Kamudian kita harus mengetahui apakah deret (7.1) konvergen. Bagaimanapun, deret yang

tidak konvergen mutlak mungkin konvergen atau mungkin divergen, kita harus uji ulang. Uji deret tidak tetap (alternating series) ini sangat sederhana :

:: USEFUL FACTS ABOUT SERIES

Kita tetapkan kebenaran berikut sebagai acuan :

1. Deret konvergen atau divergen berpengaruh pada bentuk deret yang berlipat ganda yang bernilai  konstan.    Baik berpengaruh maupun tidak dengan perubahan bentuk nomor yang terbatas (contohnya,  menghilangkan beberapa bentuk yang pertama).
2. Dua deret konvergen mungkin ditambah (atau dikurangi) bentuk kebentuk. (ditambah “bentuk kebentuk” berarti bahwa bentuk nth dari jumlah) menghasilkan deret konvergen, dan jumlah tersebut diperoleh dari penambahan (pengurangan) jumlah dua deret yang diketahui. 

1.     3. Bentuk dari deret konvergen mutlak mungkin disusun ulang dalamb entuk lain tanpa mempengaruhi salah satuan tara konvergen atau jumlah. Ini tidak sesuai dengan deret konvergen mutlak yang kita ketahui pada bagian (section) 8.